设X是一个不可数集,是X中所有使E或Ec至多是可列的子集_E所作成的集族.若E至多可列,定义μ(E)=0;若Ec至多可列
设X是一个不可数集,是X中所有使E或Ec至多是可列的子集_E所作成的集族.若E至多可列,定义μ(E)=0;若Ec至多可列,定义,μ(E)=1.证明是X上的σ-代数,μ是上的一个测度。
设X是一个不可数集,是X中所有使E或Ec至多是可列的子集_E所作成的集族.若E至多可列,定义μ(E)=0;若Ec至多可列,定义,μ(E)=1.证明是X上的σ-代数,μ是上的一个测度。
设n1<n2<n3<…是一些正整数,而E是所有使{sinnkx}收敛的点x∈[0,2π]的集,证明m(E)=0.
设X是复Banach空间,,g是解析函数且使解析演算g(T)是紧算子.又设σ(T)是不可数集.证明g在某点的邻域内必为常数函数.
在[0,1]中作点集
E={x∈[0,1]:在十进位小数表示式x=0.a1a2…中的所有ai都不出现10个数字中的某一个},
试证明E是不可数集,且m(E)=0.
在[0,1]中作点集E={x∈[0,1]:在十进位小数表示式x=0.a1a2…中的所有ai都不出现10个数字中的某一个},则E是不可数集,且m(E)=0。
设X是一个集,R表示X的所有子集全体所成的σ代数。对于E∈R,规定当E是无限集时μ(E)=∞
设X是任意的一个集,R表示X的有限子集全体所成的环,在R上定义集函数μ如下:
μ(E)=E中元素的个数(E∈R),
设X是任意的一个(非空)集,R表示X的所有子集全体所成的环。在X中任意取定一个元a,然后在R上定义集函数μ如下:对任何E∈R,
试证明:
设g(x)是E上的可测函数,若对任意的f∈L(E),都有f·g∈L(E),则除一个零测集Z外,g(x)是E\Z上的有界函数.
试作[0,1]上的函数f(x),使其不连续点集D满足:(i)m(D)=0.(ii)对任意的,点集D∩(α,β)不可数.
试证明:
设.若对任意的x∈R1,均有m(E△(E+{x}))=0,则
(i)m(Ec△(Ec+{x}))=0(x∈R1);
(ii)m(E)·m(Ec)=0.