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设f(x，y)在区域R：0≤x≤a，|y|≤b上连续且对y是非减的，且当0≤x≤a时有f(x，0)≥0． 试用逐次逼近法证明初值问题y'=f(x，y)，y(0)=0的解在0≤x≤h上存在，这里
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(微分方程解的存在定理)设f(x，y)及fy(x，y)在一个平面区域R内连续．又设
(*)φ'n(x)=f(x，φn(x))+ωn(x),|ωn(x)|＜εn其中εn→0(n→∞)．那么结论是：
(i)y=φn(x)在[x0，x0+h]上一致收敛到一个函数y=φ(x)．
(ii)y=φ(x)是微分方程y'=f(x，y)的一个经过(x0，y0)处的唯一存在的右行解
设
设f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在复数平面区域R内为正规解析．则在R中每一点常存在一定的方向l，使u(x，y)沿这方向变动得最速，此l亦即斜量gradu={ux,uy)所表示的方向，
设(x0，y0)是Oxy平面上的一固定点，r＞0． 记平面区域
Ωt={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2≤(r-ct)2}，0≤t≤r/c．
若u=u(x，y，t)是二维波动方程utt=c2(uxx+uyy)在Ωt内的解，求证下列能量不等式：
设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集，
是满足下列条件的连续映射F：X→Y的集合：对0＜r＜1及x，y∈E，
F(rx+(1-r)y)=rF(x)+(1-r)F(y)
证明在E上一致有界当且仅当它在E上逐点有界。
设f(x，y)在有界区域
则f(x，y)=0，(x，y)∈D是任一点．
( )A．
其中D1：0≤x≤a，0≤y≤b；
B．0：
C．
．其中D2：-a≤x≤0，0≤y≤b；
D．以上三种都不对．
试证明：
设f∈C(R1)．若存在λ＞0，使得
|f(x)-f(y)|≥λ|x-y|(x,y∈R1)，
则值域R(f)=R1．
设G是Oxy平面的某区域，二元函数f(x，y)在G内连续可微，f(x，0)=0． 证明：如果y=φ(x)是方程X的非常数的饱和解，则在其定义域内，φ(x)≠0．
