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设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1),M={x∈Rn|f(x)=0}≠∮,且对设为Rn+1中的n维Ck(k≥1)连通、正则子流形,
设
为Rn+1中的n维Ck(k≥1)连通、正则子流形,则下列各条等价: (1)M可定向;(2)M上存在连续变动的单位法向量场(
M上存在连续变动的处处非零的法向量场);(3)对M上任何闭曲线C,从C上的任一固定点P出发,一个单位法向量沿C连续变动,当回到P点时,单位法向量不变; (4)对
P,Q∈M,C1与C2是从P到Q的任何两条曲线,一个单位法向量从P点出发分别沿C1,C2连续变动时,到达Q点,单位法向量相同.自然有它的对偶形式:(1’)M不可定向;(2’)M上不存在连续变动的单位法向量场(
M上不存在连续变动的处处非零的法向量场).(3’)在M上存在一条闭曲线C,从C的某一点P出发,某个单位法向量沿C连续变动时,当回到P点时,单位法向量改变方向;(4’)存在P,Q∈M,C1与C2是从P到Q的某两条曲线,某个单位法向量从P点出发分别沿C1,C2连续变动时,到达Q点,单位法向量不同(即相反).
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