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[主观题]
试证明: 设f∈L(R1).若对任一开集,有 ,则f(x)=0,a.e.x∈R1.
试证明:
设f∈L(R1).若对任一开集,有
,则f(x)=0,a.e.x∈R1.
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试证明:
设f∈L(R1).若对任一开集,有
,则f(x)=0,a.e.x∈R1.
试证明:
设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1),则存在闭集列:,使得
, f∈C(Fn) (n∈N).
设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集
Gf={(x,f(x)):x∈R1}
在R2中稠密.
试证明:
设fn∈L(R1)(n=1,2,…),F∈L(R1),且有
.
若存在,
(n=1,2,…):m(En△E)→0(n→∞),则
.
试证明:
设f(x)是R1上的非负函数,是闭集,若视f(x)是F上的函数是连续的,则函数g(x)=f(x).χF(x)是上半连续函数.
令(斜坡函数)
并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).
试证明:
设f:(0,∞)→R1可测,0<λ<1.若对任意的x,y>0,有
f(x+y)=λf(x)+(1-λ)f(y),
则f(x)=C(常数).
试证明:
设,则f:R1→R1在E上的图形集
Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}
是Gδα曲集.