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设A与F都是n阶矩阵，且A实对称，它的特征值为λ1，λ2，…，λn．证明：矩阵方程AX+XA+AXTA=F有唯一解的充要条件是
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A.A有实特征根，且与对角矩阵相似
B.若B1，B2是可交换的，则A有实特征根，且与对角矩阵相似
C.若B1，B2都对称，则A有实特征根，且与对角矩阵相似
D.ATA有实特征根，且与对角矩阵相似
设A与B都是n阶矩阵，如果存在n阶正交矩阵P，使式(6.7)成立，则方程X+AXTB=F有唯一解的充要条件是
(6.9)
设A是n阶实对称正定矩阵，则由格式(2.21)得到的向量序列{r(k)}和{z(k)}满足
[r(k)，z(k-1)]=0，[r(k)，r(l)]=0，[z(k)，Az(l)]=0(k≠l)．(2.22)
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ[sub1sub]=6，λ[sub2sub]=λ[sub3sub]=3，α[sub1sub]=(1，1，1)[supTsup]是属于λ[sub1sub]=6的特征向量.
若A为n阶对称矩阵，f(X)=X'AX，则A为f(X)的矩阵．
若A为任意矩阵，且f(X)=X'AX，则A为f(X)的矩阵？
复方阵Q称为酉矩阵，是指Q满足QQH=QHQ=E，或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵，即
.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵，但任何方阵总相似于上三角矩阵，这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理：对于复方阵A，总存在酉矩阵Q，使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵，且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明：设n阶方阵A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn；f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式，则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn).
存在实方阵B，使得A=BTB.
